文 |?張釋文
授權(quán)自公號:埃爾特
我是一個中國學校的學渣。不是謙虛,是官方認證的。我在國內(nèi)上中學的時候,150分的數(shù)學考試,最低考過27分。
27分大家知道是什么概念嗎?我們那時候考試用的是答題卡,27分就相當于把這個答題卡放到地上,然后踩兩腳,把鞋印放到機器里——估計這樣出來的分數(shù)也不止27分。
我考27分那次,是我們班的倒數(shù)第三名。還有兩個比我更差的,我們?nèi)齻€人現(xiàn)在還是很好的朋友。那兩個人,倒數(shù)第二的考了26分,我以一分險勝。他現(xiàn)在在美國一個世界500強的公司擔任副總裁級的高管。考倒數(shù)第一的那個人考了9分,9分啊,如果我是兩個鞋印,他就只能是大半個鞋印了。這個人后來考上了英國的牛津大學,現(xiàn)在是全球知名的經(jīng)濟學家。
所以,如果孩子現(xiàn)在數(shù)學成績不好,我們不用太焦慮,它代表不了什么,既不代表孩子不聰明,也不代表孩子學習能力不好,有一種可能,就是孩子所接受的數(shù)學教育,有問題。
別人都用計算器,只有我用草稿紙
先和大家分享我的一個故事。
那是我在英國讀研究生的時候,剛?cè)雽W沒多久,老師在黑板上講一道題,有一個7×9的算式,我在下面隨口答了一句63,結(jié)果引來全班一片驚嘆聲。包括老師在內(nèi)都用特別崇拜的眼光看著我,仿佛看到數(shù)學之神了。
英國一直沒有乘法表和乘法口訣。2015年,英國前首相卡梅倫和教育部長摩根兩個人曾經(jīng)想過在中小學生中推廣乘法表和乘法口訣,結(jié)果遭到了媒體和學生家長的一致反對。
有一次卡梅倫在演講的時候,突然有個人站起來問他:“8×9等于多少?”卡梅倫當時張口結(jié)舌,目瞪口呆,因為他不知道8×9等于幾。大家想想,一個英國的首相連8×9都算不出來。而我因為很快算出了7×9=63,于是就第一次當了數(shù)學的學霸。
特別巧,沒過幾天我們就有一個測驗,我是從來沒有如此期待過數(shù)學考試,十多年來從來沒有當過數(shù)學的好學生,終于有這個機會了,尤其還是在國外,終于有了為國爭光的機會。
到了考試那一天,老師把考題發(fā)下來,然后我發(fā)現(xiàn)一個特別奇怪的事,我所有的同學第一個動作就是從書包里拿出科學計算器,當時我就特別懵,因為我在國內(nèi)上學的時候,計算器是不能在考試中用的。但是在英國學校里,計算器是一個必備工具。
所以我眼睜睜的看他們從書包里拿出計算器,而全班只有我從書包里拿出來一疊稿紙。
最后的結(jié)果,可想而知,全班只有我沒有答完題目,因為別人都是只要知道方法了,他們就可以用計算器非??斓乃愠鼋Y(jié)果,而我把大量的時間都浪費在了計算過程上。
學數(shù)學,應(yīng)該像玩游戲、看電影
于是我開始反思,數(shù)學到底學什么?我們?yōu)槭裁匆獙W數(shù)學?數(shù)學真的跟現(xiàn)實生活息息相關(guān)嗎?我們學數(shù)學到底學的是什么?
大家都說中國的數(shù)學課程比國外的難很多,中國的基礎(chǔ)教育扎實,中國學生的數(shù)學可以碾壓國外學生。但我反思的結(jié)論是:我們數(shù)學課的問題不在于難度,而在于我們的數(shù)學課堂上壓根就沒有數(shù)學。
為什么國外學??梢匀萑涛覀冋J為的特別低級的運算無能,但是他們卻依然能夠培養(yǎng)出那么多優(yōu)秀的數(shù)學家?我們學數(shù)學究竟是學一種運算技巧,還是學一種數(shù)學思維?我反思的結(jié)論是:數(shù)學應(yīng)該是一場游戲。
我們把數(shù)學公式背得很熟練,把幾何原理背得很熟練,然后以此不斷地做各種各樣的題,這就相當于我們玩游戲的時候,不讓你體驗游戲的過程,只告訴你,摁前進,摁五下,然后跳,往左邊走,然后打,最后到了關(guān)卡……你記住上上下下,左右左右,ABBA,你把這些都記住,然后一遍一遍去訓練,就可以完成任務(wù)。
大家覺得這樣的游戲還有意思嗎?這還是游戲嗎?已經(jīng)知道了所有公式,即使運用得再熟練,也無助于我們體驗游戲的精髓。我們需要具備的,是獨立的思考、有創(chuàng)造力的思考,而不是“被訓練”。就如高斯所說:“我們需要的是想法,而不是符號?!?/strong>
學數(shù)學,還應(yīng)該像看電影、看書。比如,我們看《西游記》,不告訴你唐僧為什么取經(jīng),他經(jīng)歷了什么事情,就告訴你唐僧經(jīng)過了九九八十一難,最后取回了真經(jīng),你要記住這八十一難都是什么,這個順序還不能亂,最后考試的時候,你要把每一難的名字答上去,就算通過了。
這樣的閱讀是正確的嗎?如果這樣看書是不對的,為什么這樣學數(shù)學就是對的呢?
巧解數(shù)學更考驗創(chuàng)造力
既然數(shù)學是一種游戲,那么,我們完全可以在想象的世界里去制定規(guī)則,考驗自己的創(chuàng)造力。
我們舉一道“雞兔同籠”題,相信所有的孩子都被考過這道題:
“籠子里有雞和兔若干只,?籠子里有25個頭和70只腳。問:兔子和雞各有多少只?”
我不知道大家是怎么做的題,我就記得我學這道題時,是在第一次學一元一次方程式,老師告訴我標準答案是:
我們假設(shè)兔的數(shù)量是 X:?
4X+2×(25-X)=70
X=10
兔子=10(只)
雞=25-10=15(只)
這么做對不對呢?肯定是對的。那這道題這么做好玩嗎?肯定不好玩。
“雞兔同籠”其實有特別多的證法,我給大家舉一個特別好玩的例子。
你想象一個世界,這一籠子的兔子和雞就在這個想象的世界里,你站在這個籠子前面,一聲令下,所有的動物都抬起一只腳,這個時候還有多少只動物站著?
70-25=45只,還有45只腳站著,你再一聲令下,所有動物又都抬起一直腳站著,這時候還有45-25=20只腳站著,但是雞已經(jīng)一屁股坐地上了,因為雞只有兩只腳全抬起來了,那站著的全是兔子,這20只腳全是兔子的,所以兔子有10只,雞就是15只。
這樣解這道題就好玩。
這道題還有很多種解法,我們還有一種解法:
假設(shè)雞也有四只腳,那25個動物里面應(yīng)該有100只腳,那為什么只有70只腳呢?因為有30個(100-70=30)翅膀沒有算做腳嘛!
那30個翅膀肯定就是雞的了,所以就是15只雞。
我們再舉個例子。這是一個矩形,就是一個長方形,長方形里面有一個三角形,問題就是:這個綠色的三角形面積和旁邊藍色三角形面積的比是多少?
正常來說我們的標準答案是:
三角形的面積=1/2×底×高
矩形面積=底×高
這么一算,矩形內(nèi)三角形內(nèi)和三角形外的面積比是1:1
這么解對不對呢?肯定對!那這么解好不好玩呢?肯定不好玩。
我們來說另外一種解法,還是放到我們想象的世界里:
把它想象成一張紙,我們從三角形頂點向下畫一條線,把它撕開,它變成了兩個方形。
每一個方形都被對角線分割成了一模一樣的兩個部分,也就是每一個方形里面綠色和藍色部分的面積都是一樣的,他們合起來的面積也是一樣的,也是1:1。
我們可以不知道那些公式、定理,但在想象的世界里,把這些東西做得很有意思。這就是數(shù)學的意義,這就是數(shù)學訓練我們的真正的目的——不是訓練什么計算能力,而是訓練一種數(shù)學思維。
從數(shù)學角度來說
減肥是不可能的
那么,什么是“數(shù)學思維”呢?
百度對數(shù)學思維的概念是這樣:數(shù)學思維是數(shù)學的思考問題和解決問題的思考形式,也就是能夠用數(shù)學的觀點去思考問題和解決問題的能力,比如轉(zhuǎn)化與劃歸、從一般到特殊、特殊到一般、函數(shù)/映射的思想等等。
說得對,但不好懂。我怎么理解數(shù)學思維的呢?數(shù)學思維就是游戲思維,就是窮盡你的想象力去創(chuàng)造一個世界,然后用嚴謹?shù)恼撟C和邏輯推理去得到一個答案,是一種高度抽象并解決問題的能力。
數(shù)學思維給你的是重新看世界的一雙眼睛,看這個世界的另外一種眼光。有的時候它可能跟我們對這個世界的直覺理解會比較大的的區(qū)別。
我舉個例子——我們知道,自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)。
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12…… 自然數(shù)
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20……?偶數(shù)
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19……?奇數(shù)
但大家覺得,自然數(shù)、偶數(shù)和奇數(shù)這三種數(shù),哪個數(shù)的數(shù)目多?
我們從直覺上感覺,偶數(shù)和奇數(shù)組合成了自然數(shù),自然數(shù)自然比它們多,但是從數(shù)學角度來說,它們?nèi)齻€數(shù)是一樣多的,因為他們?nèi)齻€的數(shù)目都是無窮。
我們再舉個例子。一個屋子里有23個人,他們有兩個人的生日是同一天的可能性大不大?
直覺來說,我們出去坐公交車、去機場等經(jīng)常會碰見很多人,但我們都不會覺得在這么多人里面會有兩個人的生日一樣。但從數(shù)學的角度來說,在23個人的這個人群里,有兩個人的生日是同月同日的概率超過50%。
為什么?因為我們把每一個人的生日和另外22個人作對比,那它就是有253次對比的機會,在這253次對比中出現(xiàn)相同的概率是非常高的,這個被稱為“生日悖論”。在計算機里面呢,有一種專門破解密碼的方式叫做生日攻擊,它的原理就是從生日悖論來的。
我再舉個悖論例子——減肥,從某種數(shù)學的角度來說,減肥這個事是不可能的。因為想要減掉10斤,首先得減掉5斤,那想減掉5斤,就得先減掉2.5斤,想要減掉2.5斤,就先得減掉1.25斤。這個是無窮的對折,但人無法減掉一個無窮的數(shù),所以減肥是不可能的。
就像龜兔賽跑。只要烏龜先跑,兔子就永遠都追不上。為什么?因為兔子永遠要到達烏龜之前到達的那一個點,那兔子只要到達那一個點,那烏龜就又往前移動了,所以兔子永遠都無法追上烏龜。
我們知道這個在現(xiàn)實生活中是不可能的,但大家想想,這一個一個的著名“悖論”,就是數(shù)學家在玩的一個一個游戲。如果我們學數(shù)學是希望“有用”,那我告訴大家,你只要學會加減法,會用計算器就可以了。
但如果我把每一個數(shù)字都看成游戲中的一個元素,忘掉所有的公式和定理,用自己愿意、喜歡的方法去求證問題,然后不斷試錯,我們就能鍛煉起來數(shù)學思維。
玩真正的游戲?qū)τ谔嵘龜?shù)學思維也大有裨益,比如象棋、圍棋、桌游。我前兩天親眼見到了一個十歲的孩子在玩數(shù)學推理的桌游,名字叫“達芬奇密碼”,把兩個二十八九歲、有碩士學位的成年人打得大敗。
而如果,我們要強調(diào)數(shù)學到底在我們現(xiàn)實中有什么意義,那可以說,數(shù)學思維讓我們有更理性的思考,更有邏輯的分析。能夠用另外一種眼光來看這個世界。最起碼,它能讓我們少上一些當,能讓我們看穿一些初級騙局。
舉個例子,在雷鋒日記里有一段話說:我連過年所放的假都沒有休息。我去撿大糞,初一初二那兩天我一共撿大糞六百來斤。其實這是一道數(shù)學題,一共撿大糞六百多斤,兩天撿大糞六百多斤,一天就是一百五十公斤。一百五十公斤的糞便,約等于一千四百坨。
我們假設(shè)雷鋒同志從早上九點出門,晚上五點回來,這中間不吃不喝不停的勞動。平均每小時撿糞一百七十五坨,每分鐘2.9坨。
我們知道那是大年初一初二,他在撫順,天特別冷,糞便應(yīng)該都凍在地上很難弄的,我們不去計算鏟下來需要多少時間,把所有時間都忽略掉。平均每二十秒就要撿起一坨,相當于他每一步都能撿到。
恰如我曾看過的一篇文章里所寫的:“雷鋒同志,你哪里是在撿糞呀,你分明就是在糞坑里呀。”
張釋文,埃爾特教育創(chuàng)始人,運營有公號埃爾特(altschool-edu),我們已獲其授權(quán),未經(jīng)許可,不得轉(zhuǎn)載。歡迎轉(zhuǎn)發(fā)到朋友圈。
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